Álgebra lineal Ejemplos

$\frac{1}{- 5} \cdot [\begin{array}{c} 19 & 4 \\ 48 & - 7 \end{array}]$

Paso 1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{5} \cdot [\begin{array}{c} 19 & 4 \\ 48 & - 7 \end{array}]$

Paso 2

Multiplica $- \frac{1}{5}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \cdot 19 & - \frac{1}{5} \cdot 4 \\ - \frac{1}{5} \cdot 48 & - \frac{1}{5} \cdot - 7 \end{array}]$

Paso 3

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 3.1

Multiplica $- \frac{1}{5} \cdot 19$ .

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Paso 3.1.1

Multiplica $19$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 19 (\frac{1}{5}) & - \frac{1}{5} \cdot 4 \\ - \frac{1}{5} \cdot 48 & - \frac{1}{5} \cdot - 7 \end{array}]$

Paso 3.1.2

Combina $- 19$ y $\frac{1}{5}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 19}{5} & - \frac{1}{5} \cdot 4 \\ - \frac{1}{5} \cdot 48 & - \frac{1}{5} \cdot - 7 \end{array}]$

Paso 3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} - \frac{19}{5} & - \frac{1}{5} \cdot 4 \\ - \frac{1}{5} \cdot 48 & - \frac{1}{5} \cdot - 7 \end{array}]$

Paso 3.3

Multiplica $- \frac{1}{5} \cdot 4$ .

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Paso 3.3.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{19}{5} & - 4 (\frac{1}{5}) \\ - \frac{1}{5} \cdot 48 & - \frac{1}{5} \cdot - 7 \end{array}]$

Paso 3.3.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{5}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{19}{5} & \frac{- 4}{5} \\ - \frac{1}{5} \cdot 48 & - \frac{1}{5} \cdot - 7 \end{array}]$

Paso 3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} - \frac{19}{5} & - \frac{4}{5} \\ - \frac{1}{5} \cdot 48 & - \frac{1}{5} \cdot - 7 \end{array}]$

Paso 3.5

Multiplica $- \frac{1}{5} \cdot 48$ .

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Paso 3.5.1

Multiplica $48$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{19}{5} & - \frac{4}{5} \\ - 48 (\frac{1}{5}) & - \frac{1}{5} \cdot - 7 \end{array}]$

Paso 3.5.2

Combina $- 48$ y $\frac{1}{5}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{19}{5} & - \frac{4}{5} \\ \frac{- 48}{5} & - \frac{1}{5} \cdot - 7 \end{array}]$

Paso 3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} - \frac{19}{5} & - \frac{4}{5} \\ - \frac{48}{5} & - \frac{1}{5} \cdot - 7 \end{array}]$

Paso 3.7

Multiplica $- \frac{1}{5} \cdot - 7$ .

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Paso 3.7.1

Multiplica $- 7$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{19}{5} & - \frac{4}{5} \\ - \frac{48}{5} & 7 (\frac{1}{5}) \end{array}]$

Paso 3.7.2

Combina $7$ y $\frac{1}{5}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{19}{5} & - \frac{4}{5} \\ - \frac{48}{5} & \frac{7}{5} \end{array}]$

Paso 4

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Paso 5

Find the determinant.

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Paso 5.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- \frac{19}{5} \cdot \frac{7}{5} - (- \frac{48}{5} (- \frac{4}{5}))$

Paso 5.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $- \frac{19}{5} \cdot \frac{7}{5}$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Multiplica $\frac{7}{5}$ por $\frac{19}{5}$ .

$- \frac{7 \cdot 19}{5 \cdot 5} - (- \frac{48}{5} (- \frac{4}{5}))$

Paso 5.2.1.1.2

Multiplica $7$ por $19$ .

$- \frac{133}{5 \cdot 5} - (- \frac{48}{5} (- \frac{4}{5}))$

Paso 5.2.1.1.3

Multiplica $5$ por $5$ .

$- \frac{133}{25} - (- \frac{48}{5} (- \frac{4}{5}))$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- \frac{48}{5} (- \frac{4}{5})$ .

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Paso 5.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{133}{25} - (1 (\frac{48}{5}) \frac{4}{5})$

Paso 5.2.1.2.2

Multiplica $\frac{48}{5}$ por $1$ .

$- \frac{133}{25} - (\frac{48}{5} \cdot \frac{4}{5})$

Paso 5.2.1.2.3

Multiplica $\frac{48}{5}$ por $\frac{4}{5}$ .

$- \frac{133}{25} - \frac{48 \cdot 4}{5 \cdot 5}$

Paso 5.2.1.2.4

Multiplica $48$ por $4$ .

$- \frac{133}{25} - \frac{192}{5 \cdot 5}$

Paso 5.2.1.2.5

Multiplica $5$ por $5$ .

$- \frac{133}{25} - \frac{192}{25}$

Paso 5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 133 - 192}{25}$

Paso 5.2.3

Resta $192$ de $- 133$ .

$\frac{- 325}{25}$

Paso 5.2.4

Divide $- 325$ por $25$ .

$- 13$

Paso 6

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 7

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 13} [\begin{array}{c} \frac{7}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{48}{5} & - \frac{19}{5} \end{array}]$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{13} [\begin{array}{c} \frac{7}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{48}{5} & - \frac{19}{5} \end{array}]$

Paso 9

Multiplica $- \frac{1}{13}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{13} \cdot \frac{7}{5} & - \frac{1}{13} \cdot \frac{4}{5} \\ - \frac{1}{13} \cdot \frac{48}{5} & - \frac{1}{13} (- \frac{19}{5}) \end{array}]$

Paso 10

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 10.1

Multiplica $- \frac{1}{13} \cdot \frac{7}{5}$ .

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Paso 10.1.1

Multiplica $\frac{7}{5}$ por $\frac{1}{13}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{5 \cdot 13} & - \frac{1}{13} \cdot \frac{4}{5} \\ - \frac{1}{13} \cdot \frac{48}{5} & - \frac{1}{13} (- \frac{19}{5}) \end{array}]$

Paso 10.1.2

Multiplica $5$ por $13$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{65} & - \frac{1}{13} \cdot \frac{4}{5} \\ - \frac{1}{13} \cdot \frac{48}{5} & - \frac{1}{13} (- \frac{19}{5}) \end{array}]$

Paso 10.2

Multiplica $- \frac{1}{13} \cdot \frac{4}{5}$ .

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Paso 10.2.1

Multiplica $\frac{4}{5}$ por $\frac{1}{13}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{65} & - \frac{4}{5 \cdot 13} \\ - \frac{1}{13} \cdot \frac{48}{5} & - \frac{1}{13} (- \frac{19}{5}) \end{array}]$

Paso 10.2.2

Multiplica $5$ por $13$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{65} & - \frac{4}{65} \\ - \frac{1}{13} \cdot \frac{48}{5} & - \frac{1}{13} (- \frac{19}{5}) \end{array}]$

Paso 10.3

Multiplica $- \frac{1}{13} \cdot \frac{48}{5}$ .

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Paso 10.3.1

Multiplica $\frac{48}{5}$ por $\frac{1}{13}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{65} & - \frac{4}{65} \\ - \frac{48}{5 \cdot 13} & - \frac{1}{13} (- \frac{19}{5}) \end{array}]$

Paso 10.3.2

Multiplica $5$ por $13$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{65} & - \frac{4}{65} \\ - \frac{48}{65} & - \frac{1}{13} (- \frac{19}{5}) \end{array}]$

Paso 10.4

Multiplica $- \frac{1}{13} (- \frac{19}{5})$ .

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Paso 10.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{65} & - \frac{4}{65} \\ - \frac{48}{65} & 1 (\frac{1}{13}) \frac{19}{5} \end{array}]$

Paso 10.4.2

Multiplica $\frac{1}{13}$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{65} & - \frac{4}{65} \\ - \frac{48}{65} & \frac{1}{13} \cdot \frac{19}{5} \end{array}]$

Paso 10.4.3

Multiplica $\frac{1}{13}$ por $\frac{19}{5}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{65} & - \frac{4}{65} \\ - \frac{48}{65} & \frac{19}{13 \cdot 5} \end{array}]$

Paso 10.4.4

Multiplica $13$ por $5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{65} & - \frac{4}{65} \\ - \frac{48}{65} & \frac{19}{65} \end{array}]$